营造“缺口”

——也谈新课程数学改革

武进区奔牛初级中学    肖金花

心理学家梅韦特认为,学习就是知觉的重组,而知识的重组遵循着一个重要的规律——完形律.完形律是指人们有一种倾向,尽可能把被知觉到的东西呈现出一种最好的形式——完形。完形是知觉积极组织建构的结果,是能动的整体。当学生遇到问题时,就会在心理上形成一个“缺口”——一种心理不平衡的状态,而学生总有最大限度地追求内心平衡的倾向,即心理完形。当学生提出了一个问题,完成了一次作业,办好了一件事情时,“心理缺口”就会弥合,表现出一种兴奋,一种令人愉快的体验,一种获得顿悟的感觉。

在新的课程标准下的课堂教学中，我们常常要从实际生活中提取一些场景、画面、实物（或模型），让学生进行观察、比较，这便是创设问题情境，通过启发性的问题营造“心理缺口”,以激发学生的学习兴趣,有助于生动活泼地开展数学活动 ,给学生以思考、推测、和探索的机会和享受成功的快乐及自我实现的权利,提高学生的思维能力等。那么在数学教学中如何营造学生的“心理缺口”呢？

一、营造缺口，要从生活实际出发

美国心理学家桑代克的米箱实验告诉我们,学习能否进行或进行得是否顺利、有效,关键是学习者对学习内容是否有兴趣,将要从事的学习活动是否符合他的动机、能否满足他的需要。数学知识最初都是来源于生活实践，又服务于生活实践，并且由于社会发展的需要，学生更有必要做到“学以致用”，所以营造“缺口”时应让学生从方方面面感受到数学就在自己身边，社会生活中处处需要用数学知识来解决问题，

    例如在学习直角三角形的边角关系时，我举这样的例子：世界上著名的法国埃菲尔铁塔，你能测出它的高度吗？同学们议论纷纷，有同学说站在铁塔的上面挂一根绳子到地，再量出绳子的长度，有同学说这种方法不可以，有危险。大家各抒己见，最后老师拿出一种方法来。如图，在B处仰望铁塔顶A，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50米到C处，测得∠2的大小，根据这些数据就可以求出铁塔的高度。同学们都很诧异。此时，老师转入正题：只有把直角三角形的边角关系学好了，这个问题就可以迎刃而解了。这样的问题情境既切入实际，贴近生活，又让学生充分发挥了自己的思维，让他们自己感受到了学习直角三角形的边角关系的必要性。同时，课堂气氛也十分活跃，学习的兴趣就高涨起来了。

二、营造“缺口”让学生体验结果的意外

当学生对一个问题的结果觉得惊讶或出乎意料之外时,就会对弄清这个问题产生浓厚的兴趣,而兴趣是发现问题，解决问题最好的催化剂,是思维的原动力.数学本身是一门严谨的科学。如果在学习数学时能添加一些有趣的调料，可以在一定程度上让数学学习变得轻松有趣、生动活泼。如果学生觉得数学课枯燥无趣，那么学习的积极性就大打折扣，就不能较好地理解并掌握课堂知识。因此，,数学教师在教学中要设法营造一种使学生敬意的教学氛围,要让学生因好奇和惊异而产生心理上的“缺口”,进而形成“我要学” 的强烈愿望。例如，在学习乘方运算时，为了感受2ⁿ的值的变化，创设这样一个情境：伙计给老板打工，支付工资的办法是：第一天2分，第二天2²分，第三天2³分，第四天2⁴分 …… 一个月下来，老板应付给伙计多少钱？学生通过计算发现这是一个很大的数字，使学生体会到了乘方运算的一种奇妙性，激发了学生学习的兴趣。当然，生动有趣不仅仅指在情境中插入生动的故事、笑话，也可以充分利用游戏、图文、动画等手段。例如，在学习直线与圆的位置关系时，插入一段日出的景象：太阳从海平面以下缓缓升起，直至升到空中。通过一连串的简单问题，在整个运动过程中使学生比较直观地感受到了直线与圆的三种位置关系，加深了学生对这个概念的理解和掌握。所以，营造“缺口”一定要考虑到用情境的艺术性来激发数学思维，使学生兴趣大增，探究的热情更加高涨。

三、营造“缺口”时障碍要适度

《数学课程标准》指出：“数学教学是数学活动的教学,是师生之间交往互动、共同发展的过程。”所以,数学教学应围绕数学活动展开,数学课堂教学的设计应紧紧抓住“数学活动”这一线索。营造“缺口”时问题要具有一定的难度和坡度，要适合学生的实际水平，能造成一定的认知冲突，保证大多数学生在课堂上处于积极的思维状态。空洞的问题、不切实际的问题只会让学生摸不着头脑，一头雾水，不知所措。例如，在八（上）探索勾股定理时，在方格纸中给出这样一个图形，提问：正方形A、B、C中有几个小方格，即面积分别是几个面积单位；A、B、C之间的面积有何关系？这样的情境便于学生观察、思考、探索，使学生在不经意中就获得了所学的知识，整个探索过程顺理成章，显然比较自然。若简单的问：请同学们想想直角三角形三边有何关系？这样的问题情境既枯燥，又让学生觉得无从下手。当然，问题的设计也不能过于简单，让学生不加思考就能得出结论，这也失去了问题情境的作用，不值得一问。教师在设计时要注意学生已有的知识和经验，问题的难度要适中。

美籍匈牙利数学家、教育家波利亚指出：“在数学学科中，能力就是解决问题的才智——我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创造精神。”如果我们把波利亚的数学教育思想作一概括的话，那就是“变更问题，诱发灵感。”波利亚在“解题表”中就给了如何创设“变异”的许多例子，如，你知道与它有关的问题吗？你能不能试想出一个相同或相似未知数的熟悉问题？你是否见过形式稍微有不同的题目？你能改述这个问题吗？你能不能想出一个更容易着手的问题，一个更普遍的问题，一个更特殊的问题，一个类似的的问题？能否解决这道题的一部分？等等，这些问题的提出，会不断地为学生敞开思维的新空间，同时也给学生带来一个又一个弥合“心理缺口”的机会。下面我们以“回到原始”、“类比与归纳”为例来加以说明。

１．回到原始体验“变异”。我国数学家华罗庚教授指出“要退，要足够地退，退到原始而不失去其重要性的地方是解决数学问题极好的招数。”当学生在课堂上遇到难题而　突发性地形成“心理缺口”时，教师应该做什么？显然，首先要给学生一定的时间，让其尝试独立地去弥合，而当学生的能力不足以弥合其“心理缺口”时，教师要尽可能地将问题弱化，或将问题变小，这种将问题弱化或变小的做法其实质就是在学生所学的新知识与学生已具备的旧知识或学习能力之间搭建一个桥梁．我们这里所说的“回到原始”的真正内涵是把新的数学教学问题回到学生已有知识经验上去，使具备不同知识水平的学生都能参与到某一个弱化或变小的问题上去，让他们“跳一跳摸得着”，并通过体验这种变化的过程学会思维、学会探索问题、学会解决问题。这样，问题在弱化，问题逐渐变小，思维的缺口也逐渐在弥合。

例如；如图，在平面直角坐标系xoy中，半径为1的⊙O分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点，抛物线y＝x²＋bx＋c经过点C且与直线AC只有一个公共点。（1）求直线AC的解析式。（2）求抛物线y＝x²＋bx＋c的解析式。（3）点P为（2）中抛物线上的一点，由点P作x轴的垂线，垂足为点Q，问：此抛物线上是否存在这样的点，使△PQB∽△ADB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

这是一道以知识网络的交汇点设计的中考题，运用了知识之间的交叉、渗透和组合。（1）、（2）两小题较简单，（3）较复杂。在教学时，先复习相似三角形的性质及判定方法。在第（3）小题前补充一个小题：若△PQB∽△ADB，你能得出哪些结论？∵△ADB已经存在，而且是等腰直角三角形，而∠PQB＝90⁰，∴根据△AQB∽△ADB得 , ∵AD=DB∴BQ=QP. 又∵点P在抛物线上 ∴设P（x，x²－x－1） ∴QB＝ ，PQ＝ 可得 ＝ 。

２、通过类比与归纳让学生体验“变异”。“见瓶水之冰而知天下寒，见一叶落而知天下秋。”其实，这种思维正是我们在数学教学或数学活动中经常使用的归纳或类比。归纳和类比是两种用途最广的特殊的合情推理。在归纳与推理的整个过程中，学生的思维处于高度的激活状态，“心理缺口”处于不断形成又不断弥合的过程中，这是训练学生思维能力的最好时机。

例如老师提问1：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正方形周长和面积的2倍？设原来正方形的边长为1，则周长为4，面积为1。若周长加倍为8，则边长为2，此时面积为4，不是原来正方形面积的2倍，所以不存在这样的正方形。既然正方形不存在，那么你还能提出新的问题吗？

问题2：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积是已知正方形周长和面积的3倍、 、K倍等等？

问题3：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍、 、K倍等等？

问题4：若把矩形换成菱形、正三角形，结论又如何呢？……

教学时围绕中心课题，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，由特殊到一般，启发学生发现更具一般性的结论，寻求解决方法，使学生体验“数学化”的过程，学生就能获得成功的体验。

当然，营造学生“心理缺口”的方法还有很多，如，利用学生不断追求完美的心态，创设学生鉴赏数学美的教学环境，让学生在不断的鉴赏、追求和期待中产生“缺口”；还可以利用学生的求异心理，设计具有不同解题思路的数学问题，让学生在积极思考和努力探寻中形成“缺口”。但不管怎样，我们所说的“心理缺口”不能是没有限制的，不能无限扩大的，当学生无论如何都无法弥合时，学生的选择就是放弃。所以，营造“心理缺口”必须遵循下面几个原则：（１）学生通过努力可以弥合；（２）学生在弥合过程中必须是充满热情的；（３）弥合中培养了学生的理性精神和实践能力。

总之,在新课程理念的倡导下,在数学教学中营造“心理缺口”应该成为一种教学艺术或教学文化,因为它的前提是尊重学生和尊重学生的发展。数学问题的创设也是如此。教师应根据教材的特点，结合课堂实际，找准知识的切入点，精心设计能激发学生探究兴趣的问题，使数学课堂教学更加丰富多彩，生机盎然。