数形结合  角度善变 决胜中考

                                                      ——关于“函数几何题”复习的几点思考

武进区奔牛初级中学    刘三萍

“函数几何题”常常是中考试卷中的把关题和压轴题，翻一下历年各地的中考试卷，几何都有函数中的几何问题。由于近年来的“函数几问题”已经从单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型，其涉及的知识面广、知识跨度大、综合型强，应用数学方法多。这就要求学生有较好的心态和过硬的数学基本功。不仅能从已知中提供的信息中提炼出数学问题，而且能灵活运用所学知识和掌握的基本技能创造性地解决问题，所以初三老师在指导复习时，尤其要注意解决这类问题的解决策略。

一、    沉着面对，耐心审题

有些考生一看到“函数几问题”复杂的图形，那么多的条件和要求解的问题。首先就心慌气短，连看都不敢看，直接放弃，其实时不必要的，虽然“函数几问题”的能力要求很高，但问题的难度是有层次的，所以不必要全盘放弃和恐慌，正确面对就可以了，因此首先心态要好。但由于该类问题条件隐蔽，而且变化多样，所以一定要认真审题，层层剥离，充分挖掘。要注意把握好解题结果的终极目标和每一步的局部目标；了解由已知产生了什么和要解决什么，提高概念把握的正确性和运算的正确性，力求能够得到的分一定要拿到手。拿该拿的分。审题这一关，不要怕慢，不要怕繁，不要怕多。所谓“磨刀不误砍柴工”。其实是慢中有快。解题方向明确了，思路清晰了，手段合理了，解题的准确性和速度也就有了前提和保障。

二、    掌握特性，分解难点

在“函数几问题”中，经常可以看到二次函数和圆相结合的问题，有时是利用圆的几何特征解决二次函数中一些点或角的问题。有时是利用二次函数的函数特性解决圆中的一些线段或面的问题。不管是哪一类，都要明确工具自 身的特性，如圆的轴对称性旋转不变性、抛物线的点与式的紧密结合性。当工具的特性体现完时，把有关图形再分离出来，达到清晰解题，降低难点的目的。如2008年新课程结束考试卷上有一题：如图所示：在平面直角坐标系中圆M经过原点O且与X轴、Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点。⑴请写出直线AB的解析式。

⑵若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上。开口向下，且经过点B。求此抛物线的函数表达式。

⑶设⑵中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标。若不存在，请说明理由。

第⑴小题很简单，用待定系数法求出直线解析式即可。而第⑵小题就要紧扣圆的特性。用垂经定理得AN=NO=3，再由直径AB=10得R=5，用勾股定理求出MN=4，从而得CN=1，这样就求出了顶点C的坐标。抛物线的函数表达式也就求出了。

到第⑶小题时，其实圆的工具性也体现完了，仅是函数内部问题，可是重新画图，再次确定研究对象，使目标清晰，此时，P点不确定，它就相当于动点，行动轨迹为抛物线，我们就可以用抛物线的特性来定位动点，设出P点坐标为（X,-X²－6X－8）再用面积来计算，不过这里在计算面积时要当心。△PDE的高为|-X²－6X－8|就可以了。

    三、了解动态，细心分类

在“几函问题”和“函几问题”中经常会遇到运动问题。如：点运动、线旋转、圆旋转平移等。如能做到先模拟操作、全面感知运动过程，力求在动中找出不变的因素。掌握运动导致的各种可能、细心分类、逐一分析、剔除不可能情形，精确算出可能情况下的值，这样的话，情况就好很多。

2008年金坛模拟考卷上有一题：已知直线l的解析式是 ,l交x轴与点B，交y轴于点C。动圆P的半径为5，位于y轴的左侧且始终和y轴相切。

⑴动点P在怎样的图形上运动？

⑵求⊙P与l相切时，点P的坐标.

⑶当⊙P与直线l相交于B、E两点时，与x轴交于另一点A,l上是否存在一点Q，使 ？若存在求点Q的坐标，若不存在请说明理由。

    我们在分析这一问题时，可以先在草稿纸上把运动过程感知一下，发现如果要满足动圆P始终在Y轴左侧并与Y轴相切的话，动圆P点圆心P到Y轴的距离始终是半径5，这就是动中找出不变的量，那么圆心P就应该在这样一条直线上运动。即与Y轴平行且到Y轴的距离是5的一条直线即x＝－5.到第二题与动圆相切的对象换成了已知直线L和Y轴，模拟运动后，发觉要满足上述要求有两种可能。一种动点P在∠1的角平分线与圆心P的轨迹的交点处，另一种即在∠2的角平分线与圆心轨迹的交点处，分类完成后，确定可能了，接下来利用相似等性质认真计算求出P点的坐标。对于第⑶题，说明完BE是直径后，由已知去构造△ABQ和△AEQ相似。此时就要对Q点在直线l上的运动情况进行分类，直线l有三个特殊点，B点E点P点。故Q点就可能在E点的右边，或在BE的之间，或在E点的左边。分类分好后，在逐一构造相似，进行计算。

四、挖掘已知，转移变量

“函数几问题有时直接变量与已知联系不大或很难，直接判断时，常常可以通过转移变量，达到简化的目的。如：2005年常州中考卷最后一题，正方形顶点D在圆上，面积不变，而要求出面积，与D点横坐标x的函数关系式，就发现面积这个变量与已知很难直接建立联系，而它的对角线却既能根据已知表达出来，又能表达出面积，所以选择对角线充当桥梁成为间接变量是再合适不过了。又如：2006年常州中考卷上一题：在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交与点B。问P在运动时，变化着的线段AB长度的最小值。当然本题的解法不止一种，但最简单的还是想到AB这个变量直接判断较困难，若能转移到斜边上的中线这个变量，问题就容易理解很多，斜边上的中线要最短，即原点到中点的距离变成原点到AB的垂线段就可以了。即中点和切点重合。

    还有2007年中考卷上最后一道选择题也是可以把直径转换成两条半径的和来处理。

    五、掌握技巧，灵活求解

    解决“函数几问题”时，尤其要重视数形结合，对题目中的条件和结论既分析代数含义又分析其几何意义，“数”与“形”的互译、限制的转化，是解决这类问题的关健所在，找到解题思路，再加上平时自己积累的经验、小技巧也可以帮助很快解题。如：两直线平行马上想到K相等,直线与x轴夹角相等，而直线与x轴夹角的正切值就是K的绝对值。又如两点的纵坐标相等，则两点确立的线与x轴平行，且知对称轴为x₁+x₂/2等。

    总之，我们的目的不仅仅是为了让学生能决胜数学中考，更重要的是想通过这类问题的解决，让学生不仅形成良好的心理素质，更能灵活地运用所学知识创新地解题，让他们在探索求解中，思维严谨起来，做事的态度端正踏实起来。能力也得到完善和进一步的提高，为今后的高中学习打下坚实的基础。